Les phaseurs
Les phaseurs fournissent un moyen simple d'analyser les circuits linéaires excités par des sources sinusoïdales; les solutions de tels circuits seraient autrement insolubles. La notion de résolution de circuits alternatifs à l'aide de phaseurs a été introduite pour la première fois par Charles Steinmetz en 1893. Avant de définir complètement phaseurs et les appliquer à l'analyse de circuits, nous devons être parfaitement familiarisés avec les nombres complexes.
Un nombre complexe z peut être écrit sous forme rectangulaire comme
où j=√-1; x est la partie réelle de z; y est la partie imaginaire de z.
Dans ce contexte, les variables x et y ne représentent pas un emplacement comme dans l'analyse vectorielle bidimensionnelle mais plutôt les parties réelle et imaginaire de z dans le plan complexe. Néanmoins, nous notons qu'il existe quelques ressemblances entre la manipulation de nombres complexes et la manipulation de vecteurs bidimensionnels.
Le nombre complexe z peut également être écrit sous forme polaire ou exponentielle comme :
où r est la grandeur de z et Φ est la phase de z. On remarque que z peut être représenté de trois manières:
La relation entre la forme rectangulaire et la forme polaire est représentée sur la figure 9.6, où l'axe x représente la partie réelle et l'axe y représente la partie imaginaire d'un nombre complexe. Étant donné x et
y, nous pouvons obtenir r et Φ comme:
D'autre part, si nous connaissons r et Φ, nous pouvons obtenir x et y comme :
Ainsi, z peut s'écrire:
L'addition et la soustraction de nombres complexes sont mieux effectuées sous forme rectangulaire; la multiplication et la division se font mieux sous forme polaire. Compte tenu des nombres complexes:
Addition:
Soustraction:
Multiplication:
Division:
Réciproque:
Racine carrée:
Conjugue d'un nombre complexe
L’idée de la représentation du phaseur est basée sur l’identité d’Euler. En général,
ce qui montre que nous pouvons considérer et comme les parties réelle et imaginaire de e^(jΦ) nous pouvons écrire:
où Re et Im représentent la partie réelle et la partie imaginaire de. Étant donné une sinusoïde v(t) = Vm cos(ωt+Φ), nous utilisons l'Eq. (9.20a) pour exprimer v(t) comme :
V est donc la représentation du phaseur de la sinusoïde comme nous l'avons dit précédemment. En d'autres termes, un phaseur est une représentation complexe de la magnitude et de la phase d'une sinusoïde. Soit Eq. (9.20a) ou Eq. (9.20b) peut être utilisé pour développer le phaseur, mais la convention standard est d'utiliser
Eq. (9.20a).
Une façon de voir les équations. (9.23) et (9.24) est de considérer 
sur le plan complexe. Au fur et à mesure que le temps augmente, le sineur tourne sur un cercle de rayon Vm à une vitesse angulaire dans le sens antihoraire, comme le montre la figure 9.7 (a). On peut considérer v(t) comme la projection du sineur 
sur l'axe réel, comme le montre la figure 9.7 (b). La valeur du sineur à l'instant t=0 est le phaseur V de la sinusoïde v(t). Le sineur peut être considéré comme un phaseur rotatif. Ainsi, chaque fois qu'une sinusoïde est exprimée en phaseur, le terme 
est implicitement présent. Il est donc important, lorsqu'il s'agit de phaseurs, de garder à l'esprit
la fréquence w du phaseur; sinon nous pouvons faire de graves erreurs
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